Е. М. Шамахова

Здравствуйте, мои любознательные друзья! Я очень рада новой встрече!

Скоро ко мне в гости придут МатеМаша и ПрограМиша. Они наверняка захотят порешать новые задачки, поэтому пока их нет, мне нужно успеть немножко подготовиться. Сегодня нам понадобятся весы и монеты. Да-да, весы и монеты! Весы подойдут вот такие:

Монеты у меня тоже необычные, но об этом я расскажу, когда придут МатеМаша и ПрограМиша.
А вот и мои друзья звонят в дверь!
— Заходите, я уже жду вас!
— Здравствуйте, Евгения Михайловна! – поздоровался ПрограМиша, когда я открыла дверь.
— Евгения Михайловна, здра…! – МатеМаша увидела весы и побежала их разглядывать, — Мы сегодня будем играть в магазин?
— А почему они такие странные, эти весы? – подхватил ПрограМиша, — Не такие, как в магазинах. На них нет никаких циферок, даже стрелки нет. Только две чашки, и все. Даже гирек нет. Как же на них можно что-то взвесить?
— Нет, в магазин мы играть не будем, это для решения задачек. А поскольку задачи у нас по математике, то и весы математические. Они не показывают вес, они только показывают, на какой из двух чашек груз тяжелее.
— А разве бывают такие задачки, в которых нужно что-то взвешивать?
— Бывают, и довольно много. Вот вам первая задача:

Задача 1.
У нас есть три монеты, которые на вид ничем не отличаются друг от друга. Но две из них настоящие, а одна фальшивая – она немного легче настоящих. Как определить с помощью наших чашечных весов, какая из монет фальшивая? За сколько взвешиваний это можно сделать?

— А, теперь понятно, зачем нам такие весы, — задумчиво произнес ПрограМиша, — нам ведь не понадобится узнавать, сколько весят монеты.
— Действительно, нам же нужно только сравнивать, какая легче, — согласилась МатеМаша.
ПрограМиша начал класть монеты на весы.
— Попробуем сначала взвесить эти две монеты… Так, они одинаковые. Вот если бы одна оказалась легче, я бы сразу понял, что она фальшивая. А так мне не повезло, придется делать еще одно взвешивание.
— Постой, — прервала его МатеМаша, — не нужно! Все и так ясно! Раз монеты оказались одинаковыми по весу, значит, они точно настоящие!
— Точно! – ПрограМиша даже подпрыгнул от радости, — Значит фальшивая – та, которая осталась лежать на столе!
— Молодцы! Вы справились всего за одно взвешивание! – похвалила я ребят, — А теперь попробуйте решить задачу потруднее.

Задача 2.
Есть 9 монет, которые тоже на вид ничем не отличаются друг от друга. Но все, кроме одной, настоящие, а одна фальшивая – она легче настоящих. За сколько взвешиваний можно справиться на этот раз, чтобы отыскать фальшивую монету?

Дети задумались. Монет стало сразу существенно больше, и задача явно казалась намного труднее.
— Тут, наверно, меньше, чем за 4 взвешивания не справиться, — предположил ПрограМиша, — если только сразу очень повезет…
И он начал класть на чашки весов по одной монетке. Сначала сравнил первую и вторую – они оказались одинаковыми.
— Так, эти точно настоящие, — ПрограМиша с довольным видом отложил их в сторонку.
Потом он сравнил еще две монеты, которые тоже оказались одинаковыми по весу и тоже присоединились к первым двум. Потом сравнил еще две – они тоже оказались настоящими. И когда он взял последнюю пару монет, а на столе осталась всего одна монета, он торжественно произнес:
— Я точно справлюсь за 4 взвешивания! Даже если эти монеты тоже окажутся равными, то есть настоящими, то я точно буду знать, что оставшаяся одна монета фальшивая! А если одна из них будет легче, то тоже хорошо – она и есть фальшивая!
ПрограМиша с видом победителя взял все 9 монет, перемешал их и гордо протянул в сторону МатеМаши:
— Я справился за 4 взвешивания! Кто меньше?
МатеМаша тоже попробовала взвесить две монеты – по одной на каждой чашке весов. И на первом же взвешивании ей повезло, одна из чашек оказалась легче.
— Вот она, фальшивая монета! Всего одно взвешивание!
— Везение не считается! – обиженно сказал ПрограМиша.
— Действительно, нужно придумать такое решение задачи, чтобы даже в случае, если совсем не повезет, ты справилась бы за определенное количество взвешиваний.
МатеМаша и сама понимала, что ее победа какая-то сомнительная. Ведь она начала делать то же самое, что и ПрограМиша, но ей просто повезло. И тут у нее возникла идея!
— Я же могу класть на чашки сразу по несколько монеток! Смотрите!
МатеМаша снова перемешала монеты и положила на каждую чашку по две монеты. Чашки уравновесились.
— Если бы среди этих четырех монет на весах была бы фальшивая, то она была бы на одной чашке, а на другой были бы две настоящие. Ведь фальшивая монета только одна! Значит, мне попались только настоящие монеты, – рассудительно произнесла МатеМаша.
Взвешенные 4 монеты МатеМаша отложила в сторону, взяла новые 4 монеты и снова положила на каждую чашку по две монеты. На столе осталась лежать еще одна монета.
— Если бы сейчас снова получилось равновесие, то фальшивой была бы оставшаяся одна монета. Тогда я справилась бы за два взвешивания. Но даже хорошо, что этого не случилось, а то опять было бы просто везение. У меня сейчас одна из чашек легче, поэтому я точно знаю, что фальшивая монета где-то среди этих четырех.
— Правильно, — поддержал ПрограМиша, — и я даже знаю, на какой чашке – которая легче! Ведь фальшивая монета легче!
— Да, и тогда у меня «под подозрением» остаются всего две монеты! И я уже точно смогу найти среди них фальшивую всего за одно взвешивание! В итоге у меня было всего три взвешивания! – было видно, что МатеМаша очень рада, хотя она и не любила хвастаться победами.
— Молодец, МатеМаша! Однако 3 взвешивания – тоже не лучший результат. Можно найти фальшивую монету и быстрее, — сказала я и даже подмигнула ПрограМише.
ПрограМиша воодушевился, что победа еще не окончательная и у него есть шансы.
— Ну, за одно взвешивание вряд ли получится… — задумчиво произнес он, — Надо попробовать за два.
И тут на лице у ПрограМиши просияла улыбка, он чуть не запрыгал от восторга!
— Да, да! Я знаю, я придумал! Смотрите!
ПрограМиша положил на каждую чашку по три монеты.
— Видите? Нет, посмотрите повнимательнее! Видите? МатеМаша, ты видишь? Ты понимаешь, что это значит? Все, это же весь секрет решения! – ПрограМиша прыгал вокруг, издавал звуки, похожие на боевой клич индейцев, и даже размахивал воображаемым победным флагом.
МатеМаша внимательно посмотрела на весы и тоже все поняла! Да, ПрограМиша победил. И не просто победил, а победил красиво! На каждой чашке весов лежало по три монеты, а на столе оставалась кучка еще из трех монет. И даже было неважно, что показывают весы – это взвешивание показывало, в какой из трех троек находится фальшивая монета.
— Точно, за одно взвешивание ПрограМиша узнает, в какой из трех троек нужно искать фальшивую монету. А в предыдущей задаче мы научились находить среди трех монет фальшивую за одно взвешивание! Итого всего 2 взвешивания! – МатеМаша была так увлечена красивым решением, что даже не расстроилась, что вроде бы проиграла.
— Браво, ПрограМиша! Не только придумал решение, но и догадался применить предыдущую задачу, которую мы уже умеем решать, – похвалила я, — Но и МатеМаша молодец – именно она навела ПрограМишу на мысль класть по несколько монет на чашку. Для закрепления материала подумайте над такой задачкой:

Задача 3.
У нас есть 27 монет, которые тоже на вид одинаковые. Все, кроме одной, настоящие, а одна фальшивая – она легче настоящих. Определите фальшивую монету за 3 взвешивания.

— Я знаю! – хором закричали дети.
— Погодите, дайте немного подумать нашим читателям!
— Кажется, у меня появилась хорошая идея, — сказала МатеМаша, — можно я немножко подскажу читателям?
— Только совсем немножко!
— Какое бы взвешивание мы не делали, мы всегда делим монеты на три кучки: две кладем на весы, а третья кучка – то, что осталось на столе. И лучше делить на равные кучки. Ведь когда взвешиваем, мы узнаем, в какой из трех кучек фальшивая монета. И если кучки одинаковые, то даже в самом плохом случае «под подозрением» останется не слишком много монет.
— Молодец, МатеМаша, идея очень правильная и полезная! А вам еще одна задачка, дома порешаете:

Задача 4.
У нас есть 50 монет, которые тоже на вид совершенно одинаковые. Одна фальшивая – она легче настоящих, остальные монеты настоящие. За какое наименьшее количество взвешиваний можно найти фальшивую монету?

— Ну что ж, друзья, уже поздно, бегите по домам! И, конечно, приходите снова!
— До свидания! Придем обязательно!

Задача 3.
1-е взвешивание. На чаши весов кладем 9 и 9 монет, а еще 9 останутся лежать на столе. Этим взвешиванием определим, в какой из групп-девяток фальшивая монета. Далее, как и в задаче 2, за два взвешивания находим фальшивую монету среди девяти монет.

Задача 4.
1-е взвешивание. Делим монеты на группы 16, 17 и 17 монет. Взвешиваем 17 и 17. Если одна группа легче, то фальшивая монета в ней. Если группы одинаковые – фальшивая монета в группе из 16 монет.
2-е взвешивание. Делим группу, где есть фальшивая монета, на три части: 5, 5, 6 (если монета была среди 16 монет) и 5, 6, 6 (если монета была среди 17 монет). Взвешиваем две группы из одинакового количества монет и выясняем, в какой из групп фальшивая монета. В любом случае, получаем, что «под подозрением» остается группа из 5 или 6 монет.
3-е взвешивание. Делим монеты опять на 3 части: 2, 2, 1 (если их 5) и 2, 2, 2 (если их 6). Взвешиваем две группы по 2 монеты и выясняем, в какой группе фальшивая монета.
4-е взвешивание. Если «под подозрением» осталась всего одна монета, то 4-е взвешивание может и не понадобиться. Если же «под подозрением» осталось 2 монеты, то кладем их на весы и выясняем, какая из них фальшивая.
Почему же 4 взвешивания – это наименьшее количество? Как бы мы не делали первое взвешивание, монеты естественным образом разделятся на три группы: группа на первой чаше, группа на второй чаше и монеты, оставшиеся на столе (возможно, в одной из групп окажется 0 монет, но мы тоже будем сейчас считать это группой). Как бы не разделились монеты на три группы, в одной из групп будет не менее 17 монет (если везде буде меньше 17, то есть не более 16, то всего монет будет не более, чем три раза по 16, то есть 48, а их 50). Фальшивая монета может оказаться именно в этой группе. Делая второе взвешивание, мы опять неминуемо разделим монеты на три группы, и в хотя бы в одной из них будет не менее 6 монет. Фальшивая монета может оказаться среди них. Тогда после третьего взвешивания у нас под подозрением может оказаться не меньше двух монет, а чтобы из них выбрать фальшивую, потребуется как минимум еще одно, четвертое взвешивание. Конечно, в случае везения можно обойтись и меньшим числом взвешиваний. Но мы договорились, что решением считается только такой способ, который в любом случае за определенное число взвешиваний позволит найти фальшивую монету.

Копирование статьи или её частей разрешается только с указанием автора и ссылкой на сайт https://europa-kids.com

Назад в Числоград

Перейти к верхней панели